PROPIEDADES DE MATRICES

Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

• Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Distributividad respecto de la suma de matrices

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Distributividad respecto de la suma en el campo

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Producto por el neutro multiplicativo del campo

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anilloanillo con uno, se dice que es un módulo sobre . entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un

Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo .

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo debido a que para todo .

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces para todo implica que o para todo , i.e. . No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Este último resultado permite usar la notación sin riesgo de ambigüedad.

 Operaciones de Matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A = (a_ij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

k · A=(k a_ij)

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A M_mxn, a, b

a · (A + B) = a · A + a · BA,B M_mxn , a

(a + b) · A = a · A + b · A A M_mxn , a, b

1 · A = A A M_mxn

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

 A · A^-1  = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1  = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1  = A

(k · A)^-1  = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1  = (A ^-1)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

F₃ + F₂

F₂ - F₃

F₁ + F₂

(-1) F₂

La matriz inversa es:

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

• Todos sus coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.

F₃ = 2F₁
F₄ es nula
F₅ = 2F₂ + F₁
r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F₂ = F₂ - 3F₁
F₃= F₃ - 2F₁

Por tanto r(A) = 3.

Determinantes

Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

, con

(S_n es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)

También se suele escribir:

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: 

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

 

Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea

 

Sea A una matriz cuadrada y a_ij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz M_ij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento a_ij.

Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a₁₁ es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento a_ij al determinante de la matriz complementaria del elemento a_ij , y se representa por a_ij

Se llama adjunto de a_ij , y se representa por por A_ij, al número (–1)^i+ja_ij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.

Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.Nota
Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Propiedades de los determinantes
  Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

 

det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)

Ejemplo

 

Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)

Ejemplo

 

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

det (A·B) = det (A) · det (B)

Ejemplo

 

Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)

Ejemplo

 

Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.

det (0, L2, L3...) = 0

Ejemplo

 

Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.

det (L1, L1, L3...) = 0

Ejemplo

 

Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

det (L1, k·L1, L3...) = 0

Ejemplo

 

Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0

Ejemplo

 

Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.

det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)

Ejemplo

 

Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.

det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0

Cálculo de determinantes por el método de Gauss

Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

• Permutar 2 filas ó 2 columnas.
• Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
• Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones lineales 

 

Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:
donde a_ij son los coeficientes, x_i las incógnitas y b_i son los términos independientes.
 
Representación matricial de un s.e.l.
 
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse A_m,n · X_n,1 = B_m,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes. También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:



Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius
 
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican:

1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')

2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:

Si r = r' = n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible determinado (una única solución)

Si r = r' < n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema. 
Resolución de un s.e.l.
 
a) Regla de Cramer
 
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita x_i se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
 
Ejemplo
 
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A·X = B, entonces X = A^-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.